निश्चित समाकलन int_{2}^{4} (x(3 - x)(4 + x)(6 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{2}^{4} (x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x) + \sin x) dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग

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$\cos 2 - \cos 4$

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(B) माना $I = \int_{2}^{4} (x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x) + \sin x) dx$  $(1)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ और $b = 4$,हमें $a + b - x = 6 - x$ प्राप्त होता है।समाकलन में $x$ के स्थान पर $6 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{2}^{4} ((6 - x)(3 - (6 - x))(4 + (6 - x))(6 - (6 - x))(10 - (6 - x)) + \sin(6 - x)) dx$$I = \int_{2}^{4} ((6 - x)(x - 3)(10 - x)x(4 + x) + \sin(6 - x)) dx$यहाँ बहुपद भाग $(6 - x)(x - 3)(10 - x)x(4 + x)$ मूल बहुपद $x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x)$ का ऋणात्मक है।अतः,दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:$2I = \int_{2}^{4} (\sin x + \sin(6 - x)) dx$$2I = [-\cos x - \cos(6 - x)]_{2}^{4}$$2I = (-\cos 4 - \cos 2) - (-\cos 2 - \cos 4) = 0$.बहुपद भाग का समाकलन $0$ हो जाता है।अतः,$I = \int_{2}^{4} \sin x dx = [-\cos x]_{2}^{4} = \cos 2 - \cos 4$.

निश्चित समाकलन $\int_{2}^{4} (x(3 - x)(4 + x)(6 - x)(10 - x) + \sin x) dx$ का मान क्या है?

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यदि $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2x} \, dx = \alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha, \beta$ और $\gamma$ परिमेय संख्याएँ हैं,तो $3\alpha + 4\beta - \gamma$ का मान .......... है।

$\int_{0}^{1} \frac{\log (1+x)}{1+x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^2 x^2(2-x)^5 d x=$

$\int_{-10}^{10} \frac{3^x}{3^{[x]}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(G.I.F.)$ को दर्शाता है।

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